Алгебра — один из важных разделов математики, и восьмой класс — ключевой этап в изучении этого предмета. Применение алгебры в решении задач позволяет ученикам развивать аналитическое мышление и логическое мышление, а также практиковать навыки решения проблем. В данной статье мы подробно рассмотрим решение задачи алгебры 8 класса №847, предоставив объяснения и примеры для лучшего понимания.
Задача №847: «Решите уравнение 2x — 5 = 9.»
Для начала, давайте перенесем константу -5 на другую сторону уравнения, чтобы избавиться от отрицательных чисел. Для этого мы можем прибавить 5 к обеим частям уравнения:
2x — 5 + 5 = 9 + 5
Теперь у нас получается уравнение:
2x = 14
Чтобы изолировать переменную x, мы делим обе части уравнения на коэффициент при x, который в данном случае равен 2:
2x/2 = 14/2
После упрощения получаем:
x = 7
Таким образом, решение уравнения 2x — 5 = 9 является x = 7. Это значит, что если мы подставим x = 7 в исходное уравнение, оно будет соблюдаться:
2 * 7 — 5 = 9
14 — 5 = 9
9 = 9
Таким образом, уравнение правильно решено и x = 7 является его корнем. Понимание этого примера позволит ученикам развивать навыки в решении уравнений и алгебраических задач в целом.
Описание и условие задачи
В задаче изучается понятие пропорциональности. Даны три числа: a, b и x. Необходимо выяснить, принадлежит ли число x промежутку между числами a и b.
Для этого нужно сравнить значения чисел a и b и сравнить, к какому из двух случаев относится число x:
- x > a и x < b;
- x < a и x > b;
- или x лежит за пределами интервала (то есть, x < a и x < b, или x > a и x > b).
Если значение x принадлежит интервалу между a и b, то задача считается решенной.
Важно помнить, что a не должно быть равно b, так как интервал между числами в этом случае будет пустым.
Постановка задачи
Дана следующая задача: Из каждого натурального числа, не превосходящего 100, выбрали одну или несколько цифр и записали их слитно. Например, для числа 37 можно выбрать цифры 3 и 7, записав число 37. Для числа 54 можно выбрать цифру 4 и записать число 4. Для числа 11 можно выбрать цифры 1 и 1 и записать число 11. Какая сумма получится, если все эти числа сложить?
Чтобы решить эту задачу, необходимо осуществить следующие шаги:
- Выбрать каждое натуральное число от 1 до 100.
- Выбрать одну или несколько цифр из каждого числа и записать их слитно.
- Сложить все полученные числа и найти их сумму.
Задача заключается в нахождении суммы всех чисел, полученных в результате выбора цифр из каждого числа от 1 до 100 и их сложения.
Решение этой задачи требует осуществления суммирования большого количества чисел, поэтому нам понадобится использование алгоритма и программы для автоматизации расчетов.
Для наглядности и удобства работы с числами и их цифрами, можно использовать таблицу, в которой будут отражены все возможные числа от 1 до 100 в виде строки цифр. По строкам будут указаны числа, а по столбцам — их цифры. Таким образом, можно будет легко выбирать нужные цифры и складывать их.
Условие задачи
Решение задачи алгебры 8 класса №847
Для решения задачи алгебры 8 класса №847, мы сначала должны выразить одну переменную через другую в одном из уравнений системы. Затем подставим это выражение во второе уравнение и найдем значение переменной.
Дана система уравнений:
$$\begin{cases} 2x — 3y = 7 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}$$
Способ 1:
Решим второе уравнение системы относительно переменной $x$:
$$5x + 4y = 1$$
$$5x = 1 — 4y$$
$$x = \frac{1 — 4y}{5}$$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы и решим его:
$$2\left(\frac{1 — 4y}{5}
ight) — 3y = 7$$
$$\frac{2 — 8y}{5} — 3y = 7$$
$$2 — 8y — 15y = 35$$
$$2 — 23y = 35$$
$$-23y = 35 — 2$$
$$-23y = 33$$
$$y = \frac{33}{-23}$$
Теперь найдем значение переменной $x$:
$$x = \frac{1 — 4\left(\frac{33}{-23}
ight)}{5}$$
$$x = \frac{1 + \frac{132}{-23}}{5}$$
$$x = \frac{\frac{-23 + 132}{-23}}{5}$$
$$x = \frac{\frac{109}{-23}}{5}$$
$$x = \frac{109}{-23} \cdot \frac{1}{5}$$
$$x = \frac{109}{-23 \cdot 5}$$
$$x = \frac{109}{-115}$$
Ответ: переменная $x$ равна $-0.947$$, переменная $y$ равна $1.435$$.
Способ 2:
Решим систему уравнений с помощью метода сложения и вычитания. Умножим первое уравнение на $5$ и второе уравнение на $2$:
$$\begin{cases} 10x — 15y = 35 \\ 10x + 8y = 2 \end{cases}$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$(-15 + 8)y = 35 — 2$$
$$-7y = 33$$
$$y = \frac{33}{-7}$$
Теперь найдем значение переменной $x$, подставив найденное значение $y$ в любое из исходных уравнений:
$$2x — 3 \left(\frac{33}{-7}
ight) = 7$$
$$2x + \frac{99}{-7} = 7$$
$$2x = 7 + \frac{99}{7}$$
$$2x = \frac{49 + 99}{7}$$
$$2x = \frac{148}{7}$$
$$x = \frac{148}{7} \cdot \frac{1}{2}$$
$$x = \frac{148}{14}$$
$$x = \frac{74}{7}$$
Ответ: переменная $x$ равна $10.571$$, переменная $y$ равна $-4.714$$.
Шаги решения:
1. Переформулируйте условие задачи, чтобы прояснить, что именно требуется найти.
2. Определите, какие известные данные вам предоставлены, и запишите их.
3. Используйте уравнения и формулы, связанные с темой задачи, чтобы составить систему уравнений.
4. Решите систему уравнений с использованием соответствующих методов, таких как метод подстановки или метод исключения.
5. Проверьте полученное решение, подставив его обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться, что оно верно.
6. Ответьте на вопрос задачи и сформулируйте его в виде полного предложения.
Пример:
Условие задачи: В отрезке длиной 60 см помещено два кирпичика, каждый длиной 18 см. Найдите расстояние между кирпичиками.
Шаги решения:
1. Найти расстояние между кирпичиками в отрезке длиной 60 см.
2. Известные данные: длина отрезка = 60 см, длина одного кирпичика = 18 см.
3. Пусть расстояние между кирпичиками равно х см. Тогда первый кирпичик будет находиться на расстоянии х см от левого конца отрезка, а второй кирпичик — на расстоянии (60 — х) см от левого конца отрезка.
4. Составим уравнение: х + (60 — х) = 18 (сумма расстояний от кирпичиков до левого конца отрезка должна быть равна длине одного кирпичика)
5. Решаем уравнение: 60 — х = 18 — х
60 — 18 = 2х
42 = 2х
х = 21 см.
6. Расстояние между кирпичиками равно 21 см.
Примеры решения задачи
Рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как решать задачи данного типа.
Задача: Найдите корень уравнения x^2 — 9 = 0.
Решение: Данное уравнение является квадратным и может быть решено с помощью факторизации. Давайте разложим его на множители: (x — 3)(x + 3) = 0. Получаем два возможных значения x: x = 3 и x = -3. Таким образом, корень уравнения равен x = 3 или x = -3.
Задача: Решите уравнение 2(x + 5) — 3x = 4x — 10.
Решение: Давайте приведем данное уравнение к виду, содержащему только одну переменную. Раскроем скобки: 2x + 10 — 3x = 4x — 10. Сгруппируем все переменные справа и переместим их налево: 2x — 3x — 4x = -10 — 10 — 10. Выполним вычисления: -5x = -30. Разделим обе части уравнения на -5, чтобы найти значение x: x = (-30)/(-5) = 6. Таким образом, корень уравнения равен x = 6.
Задача: Решите систему уравнений: 2x + y = 5, x — 3y = -1.
Решение: Мы можем решить данную систему уравнений с помощью метода замещения или метода сложения. Давайте воспользуемся методом замещения. Из второго уравнения выразим переменную x: x = 3y — 1. Подставим это значение в первое уравнение: 2(3y — 1) + y = 5. Раскроем скобки и решим уравнение: 6y — 2 + y = 5, 7y — 2 = 5, 7y = 7, y = 1. Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в любое из первоначальных уравнений: x = 3(1) — 1, x = 3 — 1, x = 2. Таким образом, решение системы уравнений будет x = 2 и y = 1.
Пример 1
Решим задачу алгебры 8 класса №847.
Условие задачи:
В саду деревья посажены в несколько рядов. В первом ряду деревьев насажено a штук, а во втором ряду — b штук. Если в каждом ряду деревья расположить в один ряд, останется c деревьев, то есть a + b — c. Сколько деревьев насажено в каждом ряду, если известно, что в первом ряду насажено в два раза больше деревьев, чем во втором?
Решение:
Пусть количество деревьев во втором ряду равно b. Тогда количество деревьев в первом ряду будет равно 2b (в два раза больше).
Из условия задачи получаем уравнение: 2b + b — c = a + b — c.
Упростим его: 3b — c = a.
Значит, количество деревьев в каждом ряду будет составлять 2b и 3b — c.
Ответ: в первом ряду насажено 2b деревьев, а во втором ряду — 3b — c деревьев.